Exercice

Calculer les limites suivantes :

a) ` lim_{ x to +infty} (x^2arctan(x) -(pi)/2x ) `

b) $$\lim_{
x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x^2} -\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{(x+1)^2} - \sqrt[3]{x^2}}$$

c) $$ \lim_{ x \to 1^-} \frac{\sqrt[3]{ 1+x-x^3} - x}{\sqrt[3]{1-x}} $$

3 réponses

a) Calculons ` lim_{ x to +infty} (x^2arctan(x) -(pi)/2x ) `

on a ` lim_{ x to +infty} (x^2arctan(x) -(pi)/2x ) `

` = lim_{ x to +infty} x^2(arctan(x) -(pi)/(2x) ) `

on a `lim_{ x to +infty} [ arctan(x) -(pi)/(2x) ] = (pi)/2 > 0 ` et `lim_{ x to +infty} x^2 = +infty `

` => lim_{ x to +infty} x^2(arctan(x) -(pi)/(2x) ) = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} (x^2arctan(x) -(pi)/2x ) = +infty `

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b) Calculons $$\lim_{
x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x^2} -\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{(x+1)^2} - \sqrt[3]{x^2}}$$

On a $$ \lim_{
x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x^2} -\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{(x+1)^2} - \sqrt[3]{x^2}}$$

$$ = \lim_{
x \to +\infty} \frac{\sqrt[12]{x^8} -\sqrt[12]{x^3}}{\sqrt[3]{(x+1)^2} - \sqrt[3]{x^2}}$$

$$ = \lim_{
x \to +\infty} \frac{\sqrt[12]{x^8}(1 -\sqrt[12]{\frac{x^3}{x^8}} )}{\sqrt[3]{(x+1)^2}(1 - \sqrt[3]{\frac{x^2}{(x+1)^2}})}$$

$$ = \lim_{
x \to +\infty} \sqrt[12]{\frac{x^8}{(x+1)^8}} \times \frac{1 -\sqrt[12]{\frac{x^3}{x^8}} }{1 - \sqrt[3]{\frac{x^2}{(x+1)^2}}}$$

$$ = \lim_{
x \to +\infty} \sqrt[12]{\frac{x^8}{(x+1)^8}} \times \frac{1 -\sqrt[12]{\frac{1}{x^5}} }{1 - \sqrt[3]{\frac{x^2}{(x+1)^2}}}$$

On a $$ \lim_{
x \to +\infty} 1 - \sqrt[3]{\frac{x^2}{(x+1)^2}}
= 0 $$

Etudions le signe de $$ 1 - \sqrt[3]{\frac{x^2}{(x+1)^2}}
$$

On a pour tout `x > 0` : `x+1 > x => x/(1+x) < 1 => (x/(x+1))^2 < 1 `

`=> `$$ \sqrt[3]{\frac{x^2}{(x+1)^2}}
< 1 $$

`=>`$$ \lim_{
x \to +\infty} 1 - \sqrt[3]{\frac{x^2}{(x+1)^2}}
= 0^+ $$

et on a $$ \lim_{
x \to +\infty} \sqrt[12]{\frac{x^8}{(x+1)^8}}
= \sqrt[12]{1} = 1 $$ et $$ \lim_{
x \to +\infty} [ 1 -\sqrt[12]{\frac{1}{x^5}} ] = 1 $$

`=>`$$ \lim_{
x \to +\infty} \sqrt[12]{\frac{x^8}{(x+1)^8}} \times \frac{1 -\sqrt[12]{\frac{1}{x^5}} }{1 - \sqrt[3]{\frac{x^2}{(x+1)^2}}} = +\infty $$

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c) Calculons `lim_{ x to 1^-} ` $$\frac{\sqrt[3]{ 1+x-x^3} - x}{\sqrt[3]{1-x}} $$

On a `lim_{ x to 1^-} ` $$\frac{\sqrt[3]{ 1+x-x^3} - x}{\sqrt[3]{1-x}} $$

`= lim_{ x to 1^-} ` $$\frac{{ 1+x-x^3} - x^3}{\sqrt[3]{1-x}(\sqrt[3]{ 1+x-x^3}^2+ \sqrt[3]{ 1+x-x^3}\times x + x^2)} $$

`= lim_{ x to 1^-} ` $$\frac{ 1-x^3 +x-x^3}{\sqrt[3]{1-x}(\sqrt[3]{ 1+x-x^3}^2+ \sqrt[3]{ 1+x-x^3}\times x + x^2)} $$

`= lim_{ x to 1^-} ` $$\frac{ (1-x)(1+x+x^2) +x(1-x)(1+x)}{\sqrt[3]{1-x}(\sqrt[3]{ 1+x-x^3}^2+ \sqrt[3]{ 1+x-x^3}\times x + x^2)} $$

`= lim_{ x to 1^-} ` $$\frac{ (1-x)(2x^2+2x+1)}{\sqrt[3]{1-x}(\sqrt[3]{ 1+x-x^3}^2+ \sqrt[3]{ 1+x-x^3}\times x + x^2)} $$

`= lim_{ x to 1^-} ` $$ \frac{\sqrt[3]{(1-x)^3}}{\sqrt[3]{1-x}} \frac{2x^2+2x+1}{\sqrt[3]{ 1+x-x^3}^2+ \sqrt[3]{ 1+x-x^3}\times x + x^2} $$

`= lim_{ x to 1^-} ` $$ \sqrt[3]{(1-x)^2} [ \frac{2x^2+2x+1}{\sqrt[3]{ 1+x-x^3}^2+ \sqrt[3]{ 1+x-x^3}\times x + x^2}] = 0\times\frac{5}{3} = 0 $$

`=> lim_{ x to 1^-} ` $$\frac{\sqrt[3]{ 1+x-x^3} - x}{\sqrt[3]{1-x}} = 0 $$

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